Задача 1
Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, если цифры в числе не повторяются?
3 балла
Пробный вариант олимпиады по математике для 5 класса
Двенадцать оригинальных задач расположены от простых к сложным. Выполните вариант за рекомендованное время, а затем разберите решения.
Это независимый оригинальный вариант МозгоКвеста, не официальный материал какой-либо олимпиады.
Как выполнить вариант
- Отведите 50 минут и решайте без подсказок.
- Запишите ответ к каждой задаче и отметьте задачи, к которым хотите вернуться.
- После окончания времени откройте ответы и начислите себе указанное число баллов.
Имя: ____________________ Дата: ____________________
Нажмите кнопку или используйте Ctrl+P. В окне печати можно сохранить лист как PDF.
Задача 2
Квадрат с периметром 48 см разрезали на четыре одинаковых маленьких квадрата. Какова сумма периметров всех маленьких квадратов в сантиметрах?
3 балла
Задача 3
Найдите сумму чисел от 1 до 30, которые не делятся на 3.
3 балла
Задача 4
Два сигнальных фонаря мигают через каждые 12 и 18 секунд. Сейчас они мигнули одновременно. Через сколько секунд это повторится впервые?
3 балла
Задача 5
В команде четыре участника. Нужно назначить одного капитаном, а другого — его заместителем. Сколько разных назначений можно сделать?
4 балла
Задача 6
Площадь квадрата равна 196 квадратным сантиметрам. Чему равен его периметр в сантиметрах?
4 балла
Задача 7
По клетчатой карте нужно пройти из точки А в точку Б, сделав ровно 4 шага вправо и 3 шага вверх. Сколько существует кратчайших путей?
4 балла
Задача 8
В книге 240 страниц. В первый день прочитали треть книги, а во второй — четверть оставшихся страниц. Сколько страниц осталось после двух дней?
4 балла
Задача 9
В группе отношение числа мальчиков к числу девочек равно 3:5. Всего в группе 32 ребёнка. Сколько в группе девочек?
4 балла
Задача 10
В книге 200 пронумерованных страниц. Закладку поставили на каждую седьмую страницу и на каждую одиннадцатую. Сколько разных страниц получили закладку?
5 баллов
Задача 11
Сколько различных натуральных делителей имеет число 360, включая 1 и само число 360?
5 баллов
Задача 12
Число 500 сначала увеличили на 20 процентов, а затем полученный результат уменьшили на 20 процентов. Какое число получилось?
5 баллов
Ответы и решения
Задача 1. Ответ: 24 · 3 балла
Для сотен четыре выбора, для десятков три, для единиц два: 24.
Задача 2. Ответ: 96 · 3 балла
Сторона большого квадрата 12 см, маленького 6 см. Четыре периметра по 24 см дают 96.
Задача 3. Ответ: 300 · 3 балла
Сумма всех чисел 465. Кратные 3 дают 3 × (1 + … + 10) = 165. Разность 300.
Задача 4. Ответ: 36 · 3 балла
Нужно найти наименьшее общее кратное чисел 12 и 18. Оно равно 36, значит фонари снова мигнут вместе через 36 секунд.
Задача 5. Ответ: 12 · 4 балла
Капитаном можно назначить любого из четырёх. После этого заместителя выбирают из трёх оставшихся. Всего 4 × 3 = 12 назначений.
Задача 6. Ответ: 56 · 4 балла
Сторона квадрата равна 14 сантиметрам, потому что 14 × 14 = 196. Периметр равен 14 × 4 = 56.
Задача 7. Ответ: 35 · 4 балла
Всего делается 7 шагов. Достаточно выбрать места для трёх шагов вверх среди семи: таких вариантов 35.
Задача 8. Ответ: 120 · 4 балла
В первый день прочитали 80 страниц, осталось 160. Во второй прочитали 40 страниц, поэтому осталось 120.
Задача 9. Ответ: 20 · 4 балла
Всего 3 + 5 = 8 равных долей. Одна доля равна 32 ÷ 8 = 4, поэтому девочек 5 × 4 = 20.
Задача 10. Ответ: 44 · 5 баллов
Каждая седьмая страница даёт 28 закладок, каждая одиннадцатая — 18. Страницы 77 и 154 учтены дважды, поэтому ответ 28 + 18 − 2 = 44.
Задача 11. Ответ: 24 · 5 баллов
Разложение 360 = 2³ × 3² × 5. Показатели в делителе выбираются 4, 3 и 2 способами, поэтому делителей 4 × 3 × 2 = 24.
Задача 12. Ответ: 480 · 5 баллов
После увеличения получилось 500 + 100 = 600. Двадцать процентов от 600 равны 120, поэтому после уменьшения получилось 600 − 120 = 480.